Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

Answer

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．
【解析】
（1）如答图1，连接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式
得，解得，
∴y=-x2+x+．

（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P1，P2．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，
得-x2+x+=；
解得x1=1+或x2=1-，
∴P1（1-，）或P2（1+，）．

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（xm，ym），
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA-S△OAB
=（MH+OB）•OH+HA•MH-OA•OB
=（ym+）xm+（3-xm）ym-×3×
=xm+ym-
∵ym=-xm2+xm+，
∴S△MAB=xm+（-xm2+xm+）-
=xm2+xm
=（xm-）2+
∴当xm=时，S△MAB取得最大值，最大值为．