Question

如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图2）．求证：∠EAF=2∠BAE．

Answer

（1）根据菱形的性质，由AAS证明△ABE≌△ADF；
（2）欲证AE=BE，可以通过证明∠B=45°=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质得出；
（3）由于∠BAN=90°，通过证明△AMN是等边三角形，得出∠MAN=60°，则有∠MAB=30°，从而证明∠EAF=2∠BAE．
【解析】
（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，（2分）
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD，（1分）
∴△ABE≌△ADF．（1分）

（2）∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF=90°，又∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=45°，∠AEB=90°，（2分）
∴∠B=45°=∠BAE，（1分）
∴AE=BE．（1分）

（3）∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AB=AD，
∴∠ABM=∠ADN，
∴△ABM≌△ADN．
∴AM=AN，（1分）
又∵∠BAN=90°，BM=MN，
∴AM=MN=AN，
∴∠MAN=60°，（1分）
∴∠MAB=30°，（1分）
∴∠EAF=2∠BAE．（1分）