Question

课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…

Answer

（1）根据==2•==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
【解析】
（1）是标准纸，
理由如下：
∵矩形纸片ABCD是标准纸，
∴=，
由对开的含义知：AF=BC，
∴==2•==，
∴矩形纸片ABEF也是标准纸．

（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD==a，
∴==，
∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；

（3）
对开次数：
第一次，周长为：2（1+）=2+，
第二次，周长为：2（+）=1+，
第三次，周长为：2（+）=1+，
第四次，周长为：2（+）=，
第五次，周长为：2（+）=，
第六次，周长为：2（+）=，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：．