Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．

Answer

（1）根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=BC；
（2）连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．
（1）猜想：OD∥BC，OD=BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=BC

（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．