Question

已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．

Answer

根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由已知条件证明OE=OG，同理OF=OH，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为EG⊥FH，所以四边形EFGH是菱形．
证明：在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，
AD∥CB，（1分）
∴∠OBG=∠ODE．（2分）
又∵∠BOG=∠DOE，
∴△OBG≌△ODE．（4分）
∴OE=OG．（5分）
同理OF=OH．（6分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（7分）
又∵EG⊥FH，
∴平行四边形EFGH是菱形．（8分）