Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer

（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．
（2）根据（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．
（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．
【解析】
（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
把x=0，y=3；x=2，y=3分别代入y=-x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴△ABD中AB边的高为4，
令y=0，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以AB=3-（-1）=4，
∴△ABD的面积=×4×4=8；

（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，
∴点A对应点G的坐标为（3，2），
当x=3时，y=-32+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．