Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x+3交y轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连接AP，以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m．
（1）点Q落在x轴上时m的值．
（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．

Answer

（1）利用点Q落在x轴上时，PQ=3，得出m2-2m+3=3，求出m的值即可；
（2）利用QB=QP-BP=3-（m2-2m+3），利用m的取值范围，得出m的最值即可．
【解析】
（1）抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，3）．
∴OA=3．
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴QP=OA=3．
∴当点Q落在x轴上时，m2-2m+3=3，
解得：m1=0，m2=4．
当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．
∴m=4．

（2）解法一：∵点P的横坐标为m，
∴BP=m2-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（m2-2m+3），
=-m2+2m，
=-（m-2）2+2，
∵点Q在x轴下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为2．

解法二：∵QP=3，QB=3-BP，
∴线段BP的长取最小值时，线段QB的长取最大值．
当点P为抛物线的顶点时，线段BP的长取最小值．
当x=-=2时，．
∴线段BP的长最小值为1．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为3-1=2．