Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．
（1）求证：DE=EC；
（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

Answer

（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；
（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．
（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC；

（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．
证明：∵∠BDE=∠DBC．
∴BE=DE，
∵DE=EC，
∴BE=EC=BC，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BE=DE，
∴▱ABED是菱形．