Question

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E₁与E重合），试说明DD₁=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系．（不需要证明）

Answer

（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1．
（3）证明方法同（2），易得AB=DD1-EE1．
（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，
在△ADD1和△CAB中，
，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），
∴DD1=AB；

（2）【解析】
AB=DD1+EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；

（3）【解析】
AB=DD1-EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH-BH=DD1-EE1．