Question

如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，AB=，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．

Answer

（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得=；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得=；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到=，而BE=AB，于是有=，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到===，==，又==，则有=，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴==．
【解析】
（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴=；
∵∠C1AB1=60°，
∴∠B1=30°，
∴AB1=2AC1，
又∵∠DAB1=30°，
∴DA=DB1，
而DA=2DC1，
∴DB1=2DC1，
∴=；

（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴=
而BE=AB，
∴=；

（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴===，==，
又∵==，
∴=，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴==．