Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

Answer

（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；
（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；
（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△CNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；

（2）【解析】
过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，
解得：x=16-8，
∴当BD=16-8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；

（3）【解析】
过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=BC=×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×=，
∴S△ABC=BC•AK=×8×=，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=x，
∴S△BDM=•x•x=x2，
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S△BDM：S△CEN=（）2=，
∴S△CEN=（4-x）2，
∴y=S△ABC-S△CEN-S△BDM=-x2-（4-x）2=-x2+2x+=-（x-2）2+（＜x＜），
当x=2时，y有最大值，最大值为．