Question

如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．

Answer

（1）把点（，8）代入反比例函数，确定反比例函数的解析式为y=；再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=-x+b，即可确定b的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=-x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S△OPQ=S△AOB-S△OBP-S△OAQ进行计算即可．
【解析】
（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=-x+b经过点Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=-x+5；

（2）联立，
解得或，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=-x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S△OPQ=S△AOB-S△OBP-S△OAQ
=×5×5-×5×1-×5×1
=．