Question

如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

Answer

（1）根据已知得出这个正方体的底面边长NQ=ME=x，EF=ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
【解析】
（1）根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ=ME=QE=QF=x，故EF=ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
则 正方体的底面边长a=6，
V=a3==432（cm3）；
 答：这个包装盒的体积是432cm3； 

（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=，h=，
∴S=4ah+a2=4x（12-x）+=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm2．