Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）个．

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x=-=1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．
【解析】
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②不正确；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④正确．
故选D．