Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°．
（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD=AB，再作BD的中垂线，分别交AB、BD于点E、F，连接AD，DE（保留作图痕迹）．
（2）请找出上面所画图形中与△BDE相似的所有三角形，并选择其中一对相似三角形进行证明．

Answer

（1）以点B为圆心，以AB长为半径画弧交BC于点D，再分别以B、D为圆心，以任意长为半径画弧，两弧在BC两边分别相交于，过两交点作直线，即为BD的中垂线，然后连接AD、DE；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=ED，再根据等角对等边的性质可得∠EDB=∠B，又根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，从而可证△BCA与△BDE相似．
【解析】
（1）如图所示，作出弧AD得（1分），
作出BD的中垂线得（2分），
连接AD，DE得（1分）；

（2）与△BDE相似的三角形有：△ADC和△ABC．
选择△BCA∽△BDE．
证明如下：∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDB=∠C，
∴△BCA∽△BDE．