Question

如图，△ABC，A（，0），B（3，4），将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点0出发以5个单位，秒的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α=∠OAB．设线段0Q的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接CP，点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此时t的值，并判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设C（x，y）．利用两点间的距离公式可以求得点C的坐标；
（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．需要分类讨论：当0≤t＜与≤t≤1时，两种情况下的d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K．假设存在CP∥AQ，利用平行线的性质、旋转的性质推知PE=PK；然后根据线段间的数量关系可以求得此时的t的值；
欲判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系，只需证明点B与圆心P的距离是否等于⊙P的半径即可．
【解析】
（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（，0），B（3，4），
∴OA=，AB==；
又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴，
解得，
∴点C的坐标是（-，4）；

（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（，0），B（3，4），
∴OA=，OG=3，BG=4，
∴AG=，
∴AC=（勾股定理）；
∴AE=；
同理，OE=；
①当0≤t＜时，
∵OP=5t，
∴PE=-5t，
∴=，
∴d=-t+；
②当≤t≤1时，同理：d=t-；

（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF===；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=-5t，PB=5-5t，
∴=，
解得，t=，
∴存在CP∥AQ，此时t=；
∵＜≤1，
∴t=时，OQ=d=t-=，BP=OB-OP=5-5t=5-×5=，
∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t=，且点B在⊙P上．