Question

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S_△POB=3S_△PCB时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

Answer

（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为M、N，由四边形内角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，则∠EPF=∠APB，可证∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，可证△EPA≌△FPB，得出结论；
（2）由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，可证△PBC∽△POB，由S△POB=3S△PCB可知，PO=3PC，再利用相似比求解；
（3）作BH⊥OT，垂足为T，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度数为75°，从而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，则∠BPO=45°，分别解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP．
【解析】
（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分线的性质，得PE=PF，
∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；

（2）∵S△POB=3S△PCB，
∴PO=3PC，
由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，
又∵∠BPC=∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴=，
即PB2=PO•PC=3PC2，
∴=

（3）作BH⊥OT，垂足为H，
当∠MON=60°时，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=OB=1，OH=，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=+1．