Question

如图，抛物线y=-x²+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A、点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．
【解析】
（1）∵点A、C均在X轴上，
令y=0，即-x2+x+2=0；
解得 x1=-，x2=2．
∴C（-，0）、A（2，0）．
令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．
综上，A（2，0）、B（0，2）．

（2）令直线AB的解析式为y=k1x+2，
∵点A（2，0）在直线上，
∴0=2k1+2
∴k1=-
∴直线AB的解析式为y=-x+2．

（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2
∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．
因为y=过点D，
∴3=，
∴k=3．

（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA-AQ=2-t；
∴S△OPQ=•（2-t）•t=-（t-2）2+；
依题意有，
解得0＜t≤4．
∴当t=2时，S有最大值为．