Question

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l₂上的点P与l₁上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l₂上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题意得出C'的坐标为（3，-4），利用顶点式求出l2的函数关系式即可；
（2）由P与P'始终关于x轴对称，得出PP'与y轴平行，即可得出P的横坐标为m，则其纵坐标为m2-6m+5，
进而求出m的值，即可得出P点的坐标，得出以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形；
（3）假设存在满足条件的点M在l2上，即可得出点M的坐标为，再利用当x=4时y的值进行比较得出答案即可．
【解析】
（1）由题意知点C'的坐标为（3，-4）．
设l2的函数关系式为y=a（x-3）2-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）2-4上，
∴（1-3）2a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l2的函数关系式为y=（x-3）2-4
（或y=x2-6x+5）．

（2）∵P与P'始终关于x轴对称，
∴PP'与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2-6m+5，
∵OD=4，∴2|m2-6m+5|=4，即m2-6m+5=±2．
当m2-6m+5=2时，解得．
当m2-6m+5=-2时，解得．
∴当点P运动到或或或时，
，以点D，O，P，P'为顶点的四边形是平行四边形．

（3）满足条件的点M不存在．
理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，
则∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴，，OE=4．
∴点M的坐标为．
但是，当x=4时，．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．