Question

已知二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO-tan∠CBO=1．
（1）求证：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer

（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=，易证n+4m=0；
（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；
（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．
（1）证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，
即=2，
化简得：n+4m=0．

（2）【解析】
∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，
∴OA=-x1，OB=x2；x1+x2=，x1•x2=；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO===，tan∠CBO==．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-=1，
化简得：=-，
将x1+x2=，x1•x2=代入得：=-，
化简得：n==±1．
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m=；当n=-1时，m=．
∴m、n的值为：m=，n=-1（此时抛物线开口向上）或m=，n=1（此时抛物线开口向下）．

（3）【解析】
由（2）知，当p＞0时，n=1，m=，
∴抛物线解析式为：y=x2+x+p．
联立抛物线y=x2+x+p与直线y=x+3解析式得到：x2+x+p=x+3，
化简得：x2-4（p-3）=0 ①．
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程①的判别式等于0，即△=02+16（p-3）=0，解得p=3．
∴抛物线解析式为：y=x2+x+p=y=x2+x+3=（x-2）2+4，
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4．
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4．