Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，AB=15cm，BC=9cm，
（1）点E是AB的中点吗？为什么？
（2）若P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时四边形BCDP的面积．

Answer

（1）根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据DE∥BC，推出AE=BE，即可得出答案；
（2）①根据勾股定理求出AC，求出CF的长，得出四边形BCDP是梯形，根据梯形的面积公式得出即可；②求出CP+BP最小时，△BCP的周长最小，根据对称得出当P到E时，△PBC的周长最小，证△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．
【解析】
（1）点E是AB的中点，
理由是：∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∵DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∵AF=CF，
∴AE=BE，
即点E是AB的中点．

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：AC==12（cm），
即AF=CF=6cm，
∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面积y=（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周长是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周长最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A关于DF对称，
即当点P运动到点E时，CP+BP最小，此时△PBC的周长最小，
求得AE=BE=AB=cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得：（cm），
∴当时，△PBC的周长最小，
∵CF是梯形BCDE的两底之间的高，
∴此时四边形BCDP（即梯形BCDE）的面积是：×（+9）×6=（cm2），
答：当x=时，△PBC的周长最小，此时四边形BCDP的面积是cm2．