Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，-a2+a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：
∴y=-x2+x+2；
当y=2时，-x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P1（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-x2+x+2=-2
解得：x1=，x2=，
∴P点的坐标为（，-2），（，-2）
综上所述：P1（0，2）；P2（，-2）；P3（，-2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-a2+a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2-（-a2+a+2）=a2-a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′==，
此时a=，点P的坐标为（，），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，-a2+a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-a2+a+2）=a2-a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′==，
此时a=-，点P的坐标为（-，）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（-，）．