Question

若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁、x₂，且x₁≠x₂，有下列结论：
①x₁=2，x₂=3；②m＞-；③二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
【解析】
一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．
故选C．