Question

如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（m，n）是（1）中所得抛物线上的一个动点，且点P位于第一象限．过点P作直线l⊥x轴于点M，交BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时m的值；若不存在，请说明理由；
②若△PBC是以BC为底边的等腰三角形，试求点P的横坐标．

Answer

（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；
（2）①根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根据二次函数的最值问题解答；
②根据等腰三角形三线合一的性质可知点P在BC的垂直平分线上，再根据点B、C的坐标可知BC的垂直平分线也是∠BOC的平分线，然后根据点P的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
【解析】
（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
所以，点B、C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），（2分）
∴，
解得，
∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；（4分）

（2）①∵点P（m，n）在抛物线y=-x2+2x+3上，且PN⊥x轴，
∴可设点P（m，-m2+2m+3），
同理可设点N（m，-m+3），（5分）
∴PN=PM-NM=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，（8分）
∴当m=时，线段PN的长度的最大值为；（9分）
②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由（1）知，OB=OC，
∴BC的垂直平分线同时也是∠BOC的平分线，（10分）
∴m=-m2+2m+3，
整理得，m2-m-3=0，
解得m1=，m2=（不合题意舍去）．
∴点P的横坐标为．（12分）