Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁-x₂|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer

（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1；然后由已知条件“|x1-x2|=2”可以求得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）…1分
=（m+1）2+4…3分
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根…4分

（2）∵x1，x2是原方程的两根
∴x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1…5分
∵|x1-x2|=2∴（x1-x2）2=（2）2
∴（x1+x2）2-4x1x2=8…7分
∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8∴m2+2m-3=0…9分
   解得：m1=-3，m2=1…10分
   当m=-3时，原方程化为：x2-2=0
             解得：x1=，x2=-…11分
   当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0
             解得：x1=-2+，x2=-2-…12分