Question

如图，已知直线y=kx-3经过点M，则与此直线、x轴、y轴都相切的圆的圆心坐标为    ．

Answer

由直线y=kx-3经过M点，故将M的坐标代入直线方程中求出k的值，确定出直线的解析式，然后令y=0，求出x的值，即为A的横坐标，令x=0求出y的值，即为B的纵坐标，进而确定出OA及OB的长，设所求圆的半径为r，分四种情况考虑：当圆心C在三角形OAB内部时，如图所示，连接OD，OE，OF，在直角三角形AOB中，由OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据切线长定理得到AD=AE，OD=OF=r，BE=BF，用OA-OD表示出AD，用OB-OF表示出BF，再由AB=AE+EB=AD+BF，将表示出的AD及BF代入，得到关于r的方程，求出方程的解得到r的值，确定出此时圆心C的坐标；当圆心C在三角形AOB外部，且在第三象限时，如图所示，根据切线长定理得到OD=OE=r，AD=AF，BE=BF，由AB=AF+FB=AD+BE，再由OD-OA表示出AD，OE-OB表示出BE，代入可得出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，确定出此时圆心C的坐标；当圆心C在三角形AOB外部，且在第二象限或第四象限时，同理可得出圆心C的坐标，综上，得到所有满足题意的圆心坐标．
【解析】
由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，
∴-2k-3=1，解得k=-2，
∴直线的解析式为y=-2x-3，
令y=0，可得x=-，∴直线与x轴的交点A坐标为（-，0），即OA=，
令x=0，可得y=-3，∴直线与y轴的交点B坐标为（0，-3），即OB=3，
设所求圆的半径为r，
当圆心在△AOB内部时，圆心C坐标为（-r，-r），如图所示：

设圆C与x轴相切于点D，与y轴相切于点F，与直线y=-2x+3相切于点E，连接CD，CE，CF，
根据切线长定理得到：AD=AE，BE=BF，OD=OF，
在Rt△AOB中，由OA=，OB=3，根据勾股定理得：AB==，
又AB=AE+BE=AD+BF=OA-OD+OB-OF=OA+OB-2r=+3-2r，
∴+3-2r=，解得：r=，
则此时圆心C坐标为（-，-）；
当圆心在△AOB外部，并在第三象限时，如图所示：

设此时圆心C坐标为（-r，-r），根据切线长定理得到AD=AF，BF=BE，
∴AB=AF+FB=AD+BE=OD-OA+OE-OB=2r-3-，又AB=，
∴2r-3-=，解得：r=，
则此时圆心C坐标为（-，-）；
当圆心在△AOB外部，并在第二象限时，如图所示：

设圆心C坐标为（-r，r），根据切线长定理得到BF=BE，AF=AD，OD=OE，
∵BE=BO+OE=3+r，∴BF=3+r，
又AB=，∴AD=AF=BF-AB=3+r-，
∴AO=AD+OD=3+r-+r=，解得：r=，
则此时圆心C坐标为（-，）；
当圆心在△AOB外部，并在第四象限时，如图所示：

设圆心C的坐标为（r，-r），根据切线长定理得到OD=OE=r，BE=BF，AD=AF，
∵AO=，∴AF=AD=AO+OD=+r，
又AB=，∴BF=BE=AF-AB=+r-，
又BF=BE=OB-OE=3-r，
∴+r-=3-r，解得：r=，
则此时圆心C坐标为（，-），
综上，所求圆心的坐标为（-，-）或（-，-）或（-，）或（，-）．
故答案为：（-，-）或（-，-）或（-，）或（，-）