Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果点P在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”．
（1）判断点C（）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；
（2）若点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，求m的取值范围．

Answer

（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离小于1，求出当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可；
（2）根据线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜n＜4，把n=2和n=4分别代入n=m-1，求出相应的m值，即可得出点的横坐标m的范围．
【解析】
（1）点C（）是线段AB的“临近点”．理由是：
∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，
∴AB∥x轴，3-1=2，3+1=4，
∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，
点C的坐标是（），
∴y=＞2，且小于4，
∵C（，）在直线y=x-1上，
∴点C（）是线段AB的“临近点”．

（2）∵点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，由（1）可以得出：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜n＜4，
把n=2代入y=x-1（即n=m-1）得：m=3，
n=4代入y=x-1（即n=m-1）得：m=5，
∴3＜m＜5，
即m的取值范围是3＜m＜5．