Question

已知：C为反比例函数上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S_△AOC=4．
（1）求k的值；
（2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C的运动而发生变化？若不变，请求出其面积；若变化，请说明理由．

Answer

（1）根据反比例函数解析式中k的几何意义，即可求得k的值；
（2）已知0A=4，则C的横坐标是-4，代入反比例函数的解析式即可求得C的坐标，根据OC与CD互相垂直，则两直线的斜率互为负倒数，则CD的解析式即可求解，解CD得解析式与反比例函数的解析式组成的方程组即可求得D的坐标，然后分O、P、D分别是直角顶点三种情况，利用互相垂直的直线，两直线的斜率互为负倒数，即可求得P的坐标；
（3）把△BCD沿着CD翻折，点B与CD上点E重合，DC平分∠BDC，则Rt△AOC∽Rt△BCD，设C（m，n），即可利用m，n表示出四边形的面积，据此即可求解．
【解析】
（1）设C的坐标为（m，n），m＜0，
|m||n|=4，
∴mn=±8，
∴k=xy=mn=±8．
∵反比例函数的图象一个分支在第二象限，
∴k=-8；

（2）当OA=4时，m=-4，则n==2，
∴C的坐标是：（-4，2）．
∵CD⊥OC，直线OC的斜率是：-，
∴CD的方程为y=2x+10，
∴当k=-8时y=-，．
解方程组：，
解得：，
则D的坐标是：（-1，8）．
①若P（-4，y）为直角顶点时，OD的中点M为（-，4）
∵MP=OD，
∴=
则y-4=±2，∴y=6．（y=2舍去）
∴P（-4，6）；
②若D为直角顶点，则直线OD的斜率是-8，
∴PD的斜率是．
则直线PD的解析式是：y=x+
∴当x=-4时，y=，
∴P（-4，）；
③O为直角顶点时OP⊥OD，
OP的解析式是：y=x，当x=-4时，y=-，
∴P（-4，-）
当k=8时符合条件的点P为（-4，-6）或（-4，）或（-4，）．

（3）把△BCD沿着CD翻折，点B与OD上点E重合，DC平分∠BDO，
容易证明OC平分∠AOD，
又∵BD⊥AB，AO⊥AB，
∴AC=BC=EC．
∵∠BDC=∠ACO=90°-∠BCD，
∴Rt△AOC∽Rt△BCD，
∴AO：BC=AC：BD，
∴BD=．
设C（m，n），BD=-，
D（m-，2n）．
∵C，D都在双曲线y=-上，
2n•（m-）=-8，
∴mn=-8，
∴=，∴m=-n，
n2=4．
∴S四边形OCBD=S梯形ABDO-S△AOC=2n[-+（-m）]÷2-4
=--mn-4=mn•（-）+8-4=8×+4=8（定值）．