Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O，M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A，D在抛物线上．
（1）写出P，M两点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；
（3）当矩形ABCD的周长最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△DME的周长最小？如果存在，请写出E点坐标及△DME的周长最小值；如果不存在，请简要说明你的理由．

Answer

（1）根据已知条件得出图象经过（0，0），（4，0）再结合图象的对称性得出顶点坐标为（2，4），代入解析式即可；
（2）利用（1）中解析式用x表示出矩形的周长，再结合矩形的最值问题求出最值；
（3）利用平行线的性质与轴对称性质得出△DME的周长最小值，即OD+DM，利用勾股定理求出即可．
【解析】
（1）由已知可得：顶点P到x轴的距离是4，
即P点的纵坐标为4，
∵抛物线与x轴相交于O，M两点，OM=4，
∴M点的坐标为（4，0），P点的坐标为（2，4），
解析式为：y=a（x-2）2+4，
将M点的坐标为（4，0）代入求出a=-1，
∴解析式为：y=-1（x-2）2+4=-x2+4x；

（2）∵点A，D在抛物线上，假设A点的横坐标为x，纵坐标就是-x2+4x
∴即（x，-x2+4x），AB=-x2+4x，
∵OB=x，CM=x
∴BC=4-2x，
∴矩形ABCD的周长为L=2（-x2+4x+4-2x）=-2x2+4x+8
当x==1时，L有最大值=10

（3）存在．
因为是当矩形ABCD的周长最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点E，
使得△DME的周长最小，即当x==1时，L有最大值=10，
∴A（x，-x2+4x），A的坐标为（1，3），连接OD与抛物线的对称轴直线x=2交于一点，
即AB=3，OB=1，CD=3，CM=1，
∴OF=2，OC=3，CD=3，PF∥CD，
∴EF=2，
∵A，D关于x=2对称，O，M也是关于x=2对称，则AC一定经过点E．
∴△DME的周长=EM+DM+EC=DM+EC+AE=AM+DM．
∴点E为满足条件的点，E点坐标为（2，2）．
∴DM==，
根据二次函数对称性OD=DE+EM===3，
此时△DME的周长最小值为：OD+DM=．