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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.点O是AC的中...

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D,过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=______度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为______
②当α=______度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为______
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.

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(1)根据旋转的性质和等腰梯形的性质,①假设四边形EDBC是等腰梯形,根据题目已知条件及外角和定理可求α,AD;②假设四边形EDBC是直角梯形,根据题目已知条件及内角和定理可求α,AD. (2)根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形.再利用Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2求得AB,AC,AO的长度;在Rt△AOD中,∠A=30°,AD=2,可求BD,比较得BD=BC,可证明四边形EDBC是菱形. 【解析】 (1)①当四边形EDBC是等腰梯形时, ∵∠EDB=∠B=60°,而∠A=30°, ∴α=∠EDB-∠A=30°, ∴△ADO是等腰三角形, ∴AD=OD, 过点O作OF∥BC, ∵BC⊥AC, ∴OF⊥AC, ∴OF是△ABC的中位线, ∴OF=BC=1, ∵α=∠EDB-∠A=30°, ∴∠ODF=60°=∠DOF=60°, ∴△ODF是等边三角形, ∴OD=OF=DF=1, ∵∠A=∠α=30°, ∴AD=OD=1; ②当四边形EDBC是直角梯形时,∠ODA=90°,而∠A=30°, 根据三角形的内角和定理,得α=90°-∠A=60°,此时,AD=AC×=1.5. (2)当∠α=90°时,四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90°, ∴BC∥ED, ∵CE∥AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2, ∴∠A=30°, ∴AB=4,AC=2, ∴AO==. 在Rt△AOD中,∠A=30°,OD=AD, AD==, ∴AD=2, ∴BD=2, ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形, ∴四边形EDBC是菱形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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