Question

如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？

Answer

首先设EC=x，CH=y，则BE=2-x，由△ABC、△DEF都是等边三角形，易得△BED∽△CHE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由点D为AB的中点，AB=BC=2，代入比例式，即可求得y=-x2+2x=-（x-1）2+1，然后根据二次函数的性质，即可求得答案．
【解析】
设EC=x，CH=y，则BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴，
∵AB=BC=2，点D为AB的中点，
∴BD=1，
∴，
即：y=-x2+2x=-（x-1）2+1．
∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点．