Question

如图是二次函数y=ax²+bx+c的图象，其对称轴为直线x=1，其与x轴一交点为A（3，0），给出下列说法：①ab＞0；②方程ax²+bx+c=0的根为x₁=-1，x₂=3；③a+b+c＞0；④3a+c=0；⑤不等式ax²+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3．其中，正确的说法有    ．（请写出所有正确说法的序号）

Answer

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
①根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得到a＞0，b＜0，则ab＜0，故命题错误；
②二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=1，其与x轴一交点为A（3，0），则另一个交点的坐标是：（-1，0），则方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，故命题正确；
③当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c的图象上对应的点在x轴的下方，则a+b+c＜0，则命题错误；
④二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=1，其与x轴一交点为A（3，0），则另一个交点的坐标是：（-1，0），把两点的坐标代入函数解析式得：，
②×3+①得：12a+4b=0，即3a+b=0，故命题正确；
⑤函数的图象在（-1，0）与（3，0）之间的部分在x轴的下方，因而等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3，正确．
故正确的是：②④⑤．
故答案是②④⑤．