Question

如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积S_n为（ ）

A．4n
B．4（2n-1）
C．4（n+1）
D．3n+2

Answer

由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，
法1：观察图形，发现：图形中三角形都是等腰直角三角形，且黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积；
法2：找出第一个黑色梯形的上下底，利用梯形面积公式计算得到S1的值，同理得到S2，S3，以此类推，表示出Sn．
【解析】
∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
法1：从图中可以看出，黑色梯形的高总是2，
第一个黑色梯形的上底为1，下底为3，
第2个黑色梯形的上底为5=1+4，下底为7=1+4+2，
第3个黑色梯形的上底为9=1+2×4，下底为11=1+2×4+2，
则第n个黑色梯形的上底=1+（n-1）×4，下底=1+（n-1）×4+2，
∴第n个黑色梯形的面积为×2×[1+（n-1）×4+1+（n-1）×4+2]=8n-4=4（2n-1）；
法2：根据图可知：S1=4，S2=12，S3=20，
以此类推得Sn=8n-4=4（2n-1）．
故选B