Question

如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．
（1）求证：AD=NE
（2）求证：①DM=MF；②DM⊥MF．

Answer

（1）由四边形ABCD是正方形，易得AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，即可得∠MAD=∠MEN，又由M是线段AE的中点，利用ASA，即可判定△ADM≌△ENM，则可得AD=NE；
（2）首先连接FD、FN，易证得△CDF≌△ENF（SAS），即可证得△DFN是等腰直角三角形，又由△ADM≌△ENM，即可证得：①DM=MF；②DM⊥MF．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵M是AE的中点，
∴AM=EM
在△ADM和△ENM中，
∵，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN；

（2）证明：连接FD、FN，
∵CE是正方形CGEF的对角线，
∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠2=∠1=∠FEN=45°，
在△CDF和△ENF中，
∵，
∴△CDF≌△ENF（SAS）
∴∠3=∠4，DF=FN，
又∵∠CFN+∠4=90°，
∴∠CFN+∠3=90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
又∵△ADM≌△ENM，
∴DM=NM，
∴FM=DM，FM⊥DM．