Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在CB延长线上，BE=AD，连接AC、AE．
（1）求证：AE=AC；
（2）若AB⊥AC，F是BC的中点，试判断四边形AFCD的形状，并说明理由．

Answer

（1）首先连接BD，根据等腰梯形的性质，可得AC=BD，易得四边形AEBD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，即可得AE=BD，继而证得结论；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中点，根据等腰梯形的性质，易求得∠ACB=30°，继而可证得AF=FC=CD=AD，则可判定四边形AFCD是菱形．
（1）证明：连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵AD∥BC，BE=AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=BD，
∴AE=AC；

（2）四边形AFCD是菱形．
证明：∵AB⊥AC，F是BC的中点，
∴AF=BF=CF=BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB，
∵AB⊥AC，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB，
∵AD=AB=CD，
∴FC=AB=AD=CD=AF，
∴四边形AFCD是菱形．