Question

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=x-1交C₁于点E（-2，-），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式．
（2）根据直线BE：y=x-1知，该直线必过（0，-1）点，那么∠EBO=∠CBO，若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标．
（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值．
【解析】
（1）由于抛物线C1、C2都过点A（-3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x-3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，-3），则有：
-3=a（0-3）（0+3），a=
即：抛物线C1：y=x2-3（-3≤x≤3）；
抛物线C2还经过C（0，1），则有：
1=a（0-3）（0+3），a=-
即：抛物线C2：y=-x2+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直线BE：y=x-1必过（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC，即：
3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OB-BP1=；
∴P1（，0）；
②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：
：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2-OB=；
∴P2（-，0）；
综上，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（-，0）．
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b；
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：
x+b=x2-3，即：x2-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-，
∴x2-x+=0
∴该交点Q2（，-）；
Q2到直线 BE：x-y-1=0 的距离：==；
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：
x+b=-x2+1，即：x2+3x+9b-9=0，
∴该交点Q1（-，）；
Q1到直线 BE：x-y-1=0 的距离：=；
∴符合条件的Q点为Q1（-，）；
△EBQ的最大面积：Smax=×BE×=．
方法二：
当点Q在C1上时，可设Q（m，x2-3），过Q作QM平行y轴交BE于M，则M（m，x-1），
则BM=x-1-（x2-3）=-（m+0.5）2+，所以当m=-0.5时BM最大值为，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=（xB-xE）×=0.5×5×=，
同理可得，Q在C 2上时，最大面积为，
综上最大面积为．