Question

P是△ABC内一点，AD、BE、CF过点P并且交边BC、CA、AB于D、E、F，则=    ．

Answer

将AD和PD看作△ABD和△PBD的底，由于两三角形在AD和PD上的高相等，则其面积比等于底的比，同理，S△CDP：S△ACD=DP：AD，可推知，S△BCP：S△ABC=DP：AD，同理有S△ABP：S△ABC=PF：CF，S△ACP：S△ABC=PE：BE，将三者相加即可得到++=（S△BCP+S△ABP+S△ACP）：S△ABC=1，将原式变形，再求出的比．
证明：如图：∵S△BDP：S△ABD=DP：AD，
S△CDP：S△ACD=DP：AD，
∴（S△BDP+S△CDP）：（S△ABD+S△ACD）=DP：AD，
∴S△BCP：S△ABC=DP：AD①，
同理S△ABP：S△ABC=PF：CF②，
S△ACP：S△ABC=PE：BE③，
①+②+③，得
++=（S△BCP+S△ABP+S△ACP）：S△ABC=1．
∴
=++
=1-+1-+1-
=3-（++）
=3-1
=2．
故答案为2．