Question

已知抛物线，以M （-2，1）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB（即M，A，B均在抛物线上），求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

Answer

将一次函数与二次函数组成方程组，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系建立起系数与根的关系，又知两直线垂直，可得比例系数之积为-1，列出关于x、y的方程，利用根与系数的关系将方程转化为直线的解析式，再判断其所过定点．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的解析式为y=kx+b，
由得x2-4kx-4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4b，
∴，
…（3分），
∵AM⊥BM，
∴，
∴，
∴（y1-1）（y2-1）+（x1+2）（x2+2）=0…（5分），
∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2-（y1+y2）+1=0，
∴，
∴（b-3）2=4（k-1）2，
∴，
则b=2k+1或b=-2k+5，代入y=kx+b得，
∴，
∴，
∵x≠-2．
则直线AB的解析式为y=（x-2）k+5，且知过定点（2，5）．