Question

如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）试说明直线AC是⊙O的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．

Answer

（1）连接OE，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC是⊙O的切线；
（2）知道OE∥BC，利用平行线分线段成比例定理即可解答．
（1）证明：连接OE．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE∥BC．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC是⊙O的切线．

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA2=OE2+AE2．
∵AE=4，AD=2，
∴（2+r）2=r2+42．
∴r=3．
∵OE∥BC，
∴=．
∴=．
∴BC=．