Question

如图，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．

Answer

（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠ACB的正弦值，能求出OC的长，即可确定点C的坐标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式．
（2）过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标．
（3）用t表示出OD、DE、OE的长，若△ODE为直角三角形，那么三边符合勾股定理，据此列方程求出对应的t的值．
（4）根据（3）的结论能得到t的值，△ODE中，当OD⊥x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式．
【解析】
（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，则A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：
4k+3=0，k=-
∴直线AC：y=-x+3．

（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F、H，则有△ADF∽△DCH∽△ACO
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=AD=，AF=AD=，DH=3-，HC=4-，
∴D（，3-）．

（3）CE=t，E（4-t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=|（4-）-t|=|4-|
则OD2=DH2+OH2=（3-）2+（）2=9t2-t+9，
DE2=DH2+HE2=（3-）2+（4-）2=t2-38t+25，
当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，
则（9t2-t+9）+（t2-38t+25）=（4-t）2  ①，
或（9t2-t+9）+（4-t）2=t2-38t+25      ②，
或（t2-38t+25）+（4-t）2=9t2-t+9      ③，
上述三个方程在0≤t≤内的所有实数解为：
t1=，t2=1，t3=0，t4=．

（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即t3=0和t4=时，以Rt△ODE的三个顶点不能确定对称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线．
当t2=1时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），
所以设所求抛物线为y=ax2+bx，将点D、E坐标代入，求得 a=-，b=，
∴所求抛物线为：y=-x2+x
（当t1=时，所求抛物线为y=-x2+x）．