Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是上一点，且=，连接AG交PD于F，连接BF，若PD=，tan∠BFE=．
求：（1）∠C的度数；
（2）△AEF和△ABG的面积；
（3）QH的长．

Answer

（1）连接OP，求出∠OPC=90°，∠BAF=30°，设EF=x，则AE=，BE=3x，AB=4x，OB=2x，OE=x，根据cos∠POA==，求出∠POA=60°即可；
（2）由垂径定理得出PE=PD=3，在△CPE中，由勾股定理求出x=，求出AE=x=3，EF=，根据三角形的面积公式求出即可；根据AB=4x=12，求出∠BAG=30°，推出BG=6，由勾股定理求出AG=6，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）由勾股定理求出CP=6，由切割线定理得出PC2=AC×BC，求出AC=6，BC=18，根据∠C=30°，∠Q=90°求出BQ=BC=9，由勾股定理求出CQ=9，PQ=3，由切割线定理得出PQ2=QH×BQ，代入求出即可．
（1）【解析】
连接OP，
∵CP切⊙O于P，
∴∠OPC=90°，
∵=，
∴∠BAF=30°，
设EF=x，则AE=x，
∵tan∠BFE=3，
∴BE=3x，
AB=4x，OB=2x，OE=x，
∴cos∠POA==，
∴∠POA=60°，
∴∠C=90°-60°=30°；

（2）【解析】
由垂径定理得：PE=PD=3，
∵在△OPE中，由勾股定理得：OP2=OE2+PE2，
∴=+，
x=，
∴AE=x=3，EF=，
∴S△AEF=×AE×EF=×3×=，
∵AB=4x=12，
∴∠BAG=30°，
∴BG=6，
由勾股定理的：AG=6，
∴S△ABG=×AG×BG=×6×6=18；

（3）【解析】
∵由（2）知：OE=x=3，OP=2x=6，AB=12，∠C=30°，
∴OC=12，
由勾股定理得：CP=6，
∵CP是切线，CAB是割线，由切割线定理得：PC2=AC×BC，
∴=AC×（AC+12），
AC=6，
∴BC=18，
∵∠C=30°，∠Q=90°，
∴BQ=BC=9，
∴由勾股定理得：CQ=9，
∴PQ=3，
∵由切割线定理得：PQ2=QH×BQ，
=9QH，
∴QH=3．
答：QH的长是3．