Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．
（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

Answer

（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；
（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；
（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC．
证明：（1）在四边形ABCD中，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=AC，
即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D．
又∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．
∵AC为角平分线，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．

（3）AB+AD=AC．
证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．
∵AC平分∠DAB，
∵CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC．
又∵∠CED=∠CFB=90°．
∴△CFB≌△CED（AAS）．
∴CB=CD．
延长AB至G，使BG=AD，连接CG．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC．
∴△GBC≌△ADC（SAS）．
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．
∴∠ACG=90°．
∴AG=AC．
∴AB+AD=AC．