Question

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（ ）

A．1：
B．1：2
C．：2
D．1：

Answer

连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用PA′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【解析】
如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，
根据勾股定理，PP′===2x，
∴PP′=PB=2x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故选B．