Question

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面积．

Answer

（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，继而求得答案．
【解析】
（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∴∠APB=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°；

（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°，PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
即OP是AB的垂直平分线，
即OD⊥AB，AD=BD=AB，
∵∠PAO=90°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△PAO中，AO=PO=×20=10（cm），
在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×=5（cm），OD=OA•cos60°=10×=5（cm），
∴AB=2AD=10cm，
∴△AOB的面积为：AB•OD=×10×5=25（cm2）．