Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第______象限，k的取值范围是______；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？
（3）若=，S_△OAC=2，求双曲线的解析式．

Answer

（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y=的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=可得到A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），然后计算S阴影部分=S△ACE+S△OBE=×（2-）×（2-）+×2×=k2-k+2，配方得（k-2）2+，当k=2时，S阴影部分最小值为，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点；
（3）设D点坐标为（a，），由=，则OD=DC，即D点为OC的中点，于是C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，把y=代入y=得x=，确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2得到×（2a-）×=2，然后解方程即可求出k的值．
【解析】
（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=，
∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），
∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE
=×（2-）×（2-）+×2×
=k2-k+2
=（k-2）2+，
当k-2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
（3）设D点坐标为（a，），
∵=，
∴OD=DC，即D点为OC的中点，
∴C点坐标为（2a，），
∴A点的纵坐标为，
把y=代入y=得x=，
∴A点坐标为（，），
∵S△OAC=2，
∴×（2a-）×=2，
∴k=，
∴双曲线的解析式为y=．