Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若，且⊙O的半径R=6cm．
     ①求证：点F为线段OC的中点；
     ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer

（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD；
（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；
②根据S阴=S扇形AOC-S△AOC，求面积．
（1）证明：∵OC为半径，点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD，
∴∠AFO=∠D=90°，
∴OF∥BD；

（2）证明：①∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，
∴OF=BD，
∵FC∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
又∵∠FEC=∠DEB，
∴△ECF∽△EBD，
∴，
∴FC=BD，
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点，
②【解析】
∵FC=FO，OC⊥AD，
∴AC=AO，
又∵AO=CO，
∴△AOC为等边三角形，
∴S阴==6π-9（cm2）．
答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π-9）cm2．