Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x-m）²+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1-）a．
（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；
（2）当点C与点A重合时，求a的值；
（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

Answer

（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．
（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．
（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．
【解析】
（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=-，
∴OA=1，OB=，
∴=
∴A的坐标是（0，1）
∠ABO=30°．

（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），
∴tan30°=，∴，
∴D的坐标是（-，0），
E的坐标是（，0），
把点A（0，1），D（-，0），E（，0）代入 y=a（x-m）2+n，
解得：a=-3．

（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．
∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°
∵CE，直线AB分别与⊙M相切，
∴∠MPC=∠CNM=90°，
∴四边形MPCN为矩形，
∵MP=MN
∴四边形MPCN为正方形
∴MP=MN=CP=CN=3（1-）a（a＜0）．
∵EC和x轴都与⊙M相切，
∴EP=EQ．
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，
∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ=30°，
∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（-3）a
∴CE=CP+PE=3（1-）a+（-3）a=-2a
∴DH=HE=-a，CH=-3a，BH=-3a，
∴OH=-3a-，OE=-4a-
∴E（-4a-，0）
∴C（-3a-，-3a）
设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2-3a
∵E在该抛物线上
∴a（-4a-+3a+）2-3a=0
得：a2=1，解之得a1=1，a2=-1
∵a＜0，∴a=-1
∴AF=2，CF=2，∴AC=4
∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．