Question

正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°，∠DAF=15°．
（1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为，求△AEF的面积；
（3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．

Answer

（1）在证明两条线段的和等于第三条线段时，往往利用截长补短的方法解决，故延长CB至G，使BG=DF，连接AG，然后证得△ABG≌△ADF 与△AGE≌△AFE，即可证得EF=BE+DF；
（2）过点A作AH⊥EF于H，由∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB=，即可求得BE的长，然后由△AGE≌△AFE与△ABE≌△AHE，求得AH的长，继而求得△AEF的面积；（3）中需通过添加辅助线，把BM、DN、MN放在同一个三角形中来解决，所以过点A作AN′⊥AN，且使AN′=AN，连接BN′、MN′，然后证得BM2+DN2=MN2．
（1）EF=BE+DF．
证明：延长CB至G，使BG=DF，连接AG．（如图）   …（1分）
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF （SAS）  …（2分）
∴∠GAB=∠DAF=15°，AG=AF，
∵∠BAE=30°，
∴∠GAE=45°，∠FAE=90°-30°-15°=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）
∴EF=EG，
∵EG=BG+BE=BE+DF，
∴EF=BE+DF；                              …（3分）

（2）【解析】
过点A作AH⊥EF于H（如图），
∵∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB=，
∴BE=1，
∴EC=-1，…（4分）
由（1）中△AGE≌△AFE可得：∠AEB=∠AEF，
∴∠AEB=∠AEF=60°，
∴∠FEC=60°，
∴EF=2EC=2-2，…（5分）
又∵∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS）
∴AH=AB=
∴S△AEF=EF•AH=（2-2）×=3-；…（6分）

（3）BM2+DN2=MN2
证明：在AG上取点N′使AN′=AN，连接BN′、MN′（如图）．
∵△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠FAD，
∴∠GAF=∠BAD=90°，
即AN′⊥AN，
在正方形ABCD中
∵∠BAM=30°，∠NAD=15°，
∴∠NAM=45°，
∴∠N′AM=∠NAM=45°，
∵AM=AM，
∴△AN′M≌△ANM（SAS）                   …（7分）
∴MN′=MN，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠N′AB+∠BAN=90°，
∴∠N′AB=∠DAN=15°，
∵AN′=AN，
∴△ABN′≌△AND（SAS），…（8分）
∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45°，BN′=DN，
∴∠N′BM=90°，…（9分）
∵N′B2+BM2=N′M2，
∴BM2+DN2=MN2，…（10分）