Question

把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点C作CD⊥x轴于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根据∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性质可知==2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C点坐标，利用待定系数法求出过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）求出（1）中抛物线的对称轴方程，作A关于直线x=的对称点A′，作M关于x轴的对称点M′，连接A′M′交x轴于点E，交直线x=于点F，此时点P经过的路线最短，由对称性得：ME+FE+FA=A′M′，再根据勾股定理求出A′M′的长，得出直线直线A′M′的解析式，故可得出EF两点的坐标；
（3）先用待定系数法求出过A、C两点的直线解析式，设Q（x，-x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三种情况利用两点间的距离公式求出x的值，进而得出Q点的坐标即可．
【解析】
（1）过点C作CD⊥x轴于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴=，
∴==2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴==，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵抛物线过点A（0，4），
∴设抛物线解析式为：y=ax2+bx+4，
又∵抛物线过B（2，0），C（4，1），
∴解得：a=，b=-，
∴抛物线解析式为：y=x2-x+4；      

（2）由（1）中求出的抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为：直线x=-=，
作A关于直线x=的对称点A′，则A′（，4），
作M关于x轴的对称点M′，则M′（0，-2），
连接A′M′交x轴于点E，交直线x=于点F，
则此时点P经过的路线最短，
由对称性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′==，
∵直线A′M′解析式为：y=x-2，
∴E（，0），F（，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b（k≠0），则，
∴过A、C两点的直线解析式为：y=-x+4，
设Q（x，-x+4），
①若QB=QC时，则（x-2）2+（-x+4）2=（x-4）2+（-x+4-1）2，解得x=2，
即Q1（2，）；
同理，②若QC=BC时，Q2（）；
③若QB=BC时，Q3（）．