Question

己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点．连接BF、DF交于点P．连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，求证：
（1）CP平分∠BCD；
（2）四边形ABED为平行四边形；
（3）△ABF为等腰三角形．

Answer

（1）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），进而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解决问题；
（2）利用平行四边形的判定中一组对边平行且相等得出即可；
（3）利用平行四边形的性质得出AB=DE，即可得出AB=BF，进而得出△ABF为等腰三角形．
证明：（1）∵E、F分别是BC、CD边的中点，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP；

（2）∵BC=CD=2AD，E是BC边的中点，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，

（3）∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
∵BF=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF为等腰三角形．